Der Entwurf elektrischer Filter auf Grund von Anforderungen an den Frequenzgang ist ein klassisches Problem der Elektrotechnik. In mathematischer Hinsicht geht es darum, eine rationale Funktion zu finden, die auf der imaginären Achse (bei analogen Filtern) oder auf dem Einheitskreis (bei digitalen Filtern) eine vorgegebene Funktion gut annähert und deren Pole in der linken Halbebene beziehungsweise innerhalb des Einheitskreises liegen. Für besonders häufig auftretende Spezialfälle dieser Aufgabe, wie z.B. für den Entwurf von Hoch-, Band- und Tiefpassfiltern, ist eine Reihe von Methoden bekannt, die zu guten Ergebnissen führen. Trotzdem besteht der Bedarf nach einem iterativen Verfahren, das allgemein angewandt werden kann und das auch gestattet, die mit klassischen Methoden berechneten Filterkoeffizienten wenn möglich zu verbessern. Diese Anforderungen erfüllt ein Abstiegsverfahren, das unmittelbar aus einem auf Tschebyscheff, Kirchberger, Kolmogoroff und Meinardus/Schwedt zurückgehenden notwendigen Kriterien für die Minimallösung gewisser nichtlinearer Tschebyscheff-Approximationsprobleme hervorgeht. Dieses Verfahren wird im ersten Kapital unter möglichst allgemeinen Voraussetzungen dargestellt. Es gelingt, seine Konvergenz zu einem kritischen Punkt des Fehlerfunktionals, der in der Regel ein lokales Minimum sein wird, zu beweisen. Falls die Approximierenden ein asymptotisch konvexes System bilden, ist dieser Punkt sogar mit Sicherheit ein absolutes Minimum. Im Vergleich zu anderen für die Approximation von Funktionen gebräuchlichen Algorithmen besitzt dieses Abstiegsverfahren einen sehr breiten Anwendungsbereich. Es lässt sich insbesondere auch werwenden zur Approximation komplexer oder vektorwertiger Funktionen durch geeignete Funktionenfamilien. Im zweiten und dritten Kapitel wird gezeigt, dass die reellen und die komplexen Exponentialsummen und die rationalen Funktionen die im ersten Kapitel getroffenen Voraussetzungen erfüllen. In beiden Fällen kann man ohne wesenlichen Mehraufwand sogar allgemeinere Funktionensysteme betrachten, nämlich analytische Summen einerseits und gewisse verallgemeinerte rationale Funktionen anderseits. Im vierten Kapitel kommt das Approximationsproblem digitaler Filter zur Sprache. Es wird zuerst die Theorie skizziert und dann an einigen Beispielen gezeigt, dass der aufgestellte Algorithumus in der Tat für den Entwurf solcher Filter nützlich ist. In einem Anhang an dieses Kapitel ist nochmals eine Version des Abstiegsalgorithmus dargestellt, und zwar gerade an einer derartigen Filterentwurfsaufgabe. Dabei werden dort wenn möglich keine topologischen und funktionsanalytischen Bezeichnungen verwendet, damit die Beschreibung einem grösseren Kreis von Lesern verständlich ist. Schließlich wird im fünften Kapitel ein ALGOL-Programm abgedruckt, das die Berechnung der numerischen Beispiele ermöglicht hat.
